La escalera de caracol y su parametrización:
La hélice cilíndrica
ETIMOLOGÍA La palabra hélice proviene del griego “hélix” que viene a significar rosca.
HISTORIA
La más antigua constancia del conocimiento de la hélice en el acervo cultural de la humanidad proviene del matemático jonio de Apolonio de Pérgamo (262-180 a.C.) tal y como constata el ptolemaico matemático de Herón de Alejandría (s. II-I a.C.) en el tercero de los libros de “La Mecánica” donde le atribuye al primero la definición de la hélice cilíndrica, así como sus propiedades.
En la mitología griega Hélice fue una de las dos ninfas nodrizas durante la infancia en Creta del todopoderoso dios Zeus. En agradecimiento a tales cuidados, Hélice acabó formando la constelación que hoy conocemos como Osa Mayor, cuya silueta característica sirvió y sirve de guía a los marinos como lo hizo en su infancia con Zeus ya que es visible en el hemisferio norte a lo largo todo el año tal y como señala Homero en La Odisea “nunca se hunde en las aguas del océano”.
GEOMÉTRÍA
Perteneciente al grupo de los helicoides, la hélice cilíndrica es una curva geodésica (el camino más corto entre dos puntos de una superficie cilíndrica) engendrada por un punto que se desplaza con movimiento uniforme a lo largo de una recta al tiempo que esta gira, también de manera uniforme, en torno a un eje paralelo a ella. Como los giros y desplazamientos son proporcionales respecto de la base normal al eje de la superficie la pendiente es siempre constante.
Al tratarse de una hélice cilíndrica, denominamos diámetro de la hélice al propio cilindro que la contiene en su perímetro. Si situamos el eje en posición vertical de proyección en sistema diédrico forma lo que se conoce como curva sinusoidal, mostrada a la derecha.
REPRESENTACIÓN DE UNA ESCALERA DE CARACOL EN EL MEDIEVO
DESARROLLO VERTICAL DE UNA ESCALERA DE CARACOL, TIPO HÉLICE CILÍNDRICA,
CURVA SINUSOIDAL
APLICACIONES ARQUITECTÓNICAS
Como se puede observar en el desarrollo de su configuración la curva formada adquiere exacto parecido a las escaleras de caracol que por sus características son capaces de unir un desnivel determinado en un espacio reducido en el plano horizontal, por lo que han sido muy empleadas para edificaciones elevadas como torres y faros
Uno de los primeros usos conocidos de la escalera de caracol, además del ya mencionado, fue de función militar en algunos castillos de la Edad Media ya que brindaban posiciones estratégicas a los soldados que defendían los castillos de sus señores. Acostumbraban a construirse sin antepecho o barandilla alguna así como su desarrollo en vertical seguía el recorrido de las manetas del reloj (de izquierda a derecha) ya que esta configuración brindaban ventaja estratégica a la función defensiva a las posiciones de los soldados defensores del castillo ya que al provenir este de la parte superior podría arrojar al vacío al invasor como también podía hacer un mejor uso de sus maniobras diestras con la espada mientras que al oponente vería mermadas su rango de maniobrabilidad de su brazo derecho por la existencia del paramento vertical, estando su cabeza a una altura de fácil alcance para su adversario
DOBLE HÉLICE DE GIUSEPPE MOMO EN LOS MUSEOS DEL VATICANO, 1932.
Desde entonces, fue perfeccionándose la estética de esta forma de escalera en hélice, un buen ejemplo de ello es el caso de la rampa-escalera de granito que realizó Bramante a comienzos del siglo XVI para que el Papa Julio II pudiera acceder al nivel superior del Belvedere vaticanicio sin tener que hacerlo a pie. Siglos después Giuseppe Momo se inspiraría en ellas para realizar en 1932 las escaleras de doble hélice que da ingreso y salida por cada una de las hélices a los actuales Museos del Vaticano. Parece ser que F.Ll. Wright se inspiraría en ellas unos años después para la realización del museo Guggenheim de Nueva York, inagurado en 1959.
ALZADO Y PLANTA DE LA ESCALERA DE BRAMANTE, 1512
IINTERIOR Y EXTERIOR DEL GUGENHEIM DE N.Y. DISEÑADO A PARTIR DE 1943
PARAMETRIZACIÓN
Desde un punto de vista analítico, una hélice queda definida por las siguientes expresiones paramétricas:
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
z = tan α θ
El paso de hélice, es decir, el avance de la curva al dar una vuelta alrededor del cilindro es: 2π tan α
O lo que es lo mismo:
x= r cos(t)
y= r sen(t)
z= c(t)
, donde r es el radio de la hélice y c es una constante que se relaciona con la separación vertical de los lazos de la hélice.
La curvatura de la hélice está dada por:
.
La longitud del arco está dada por:
.
La torsión de una hélice está dada por:
y es tal que:
es una constante.
En efecto, el teorema de Lancret indica que una condición necesaria y suficiente para que una curva sea una hélice es que el cociente de la curvatura y la torsión sea constante.
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Martínez Benito, Eduardo. La escalera de caracol y su parametrización: la hélice cilíndrica (10 de diciembre de 2018) LaVidaEnRuta. Recuperado de:
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